Potencia de un Polinomio

Potencia de un polinomio

La potencia de un polinomio, P(x)ⁿ, es una forma abreviada de escribir el producto del polinomio n veces:

P ( x ) n = P ( x ) · P ( x ) · ... · P ( x ) ︸ n veces

Calculamos la potencia de un binomio (polinomio de dos términos).

(x + y)¹ = x + y

(x + y)² = (x + y) · (x + y) = x² + 2xy + y²

(x + y)³ = (x + y) · (x + y)² = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

...

Para apreciar las regularidades entre los coeficientes de las distintas potencias ordenamos los resultados.

Potencia	Resultado	Coeficientes
(a + b)1	a + b	1 1
(a + b)2	a2 + 2ab + b2	1 2 1
(a + b)3	a3 + 3a2b + 3ab2 + b3	1 3 3 1
(a + b)4	a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4	1 4 6 4 1

Nos fijamos en la regla que siguen los coeficientes de (a + b)⁴:

(a + b)⁴ = 1 · a^4-0 · b⁰ + 4 · a^4-1 · b¹ + 6 · a^4-2 · b² + 4 · a^4-3 · b³ + 1 · a^4-4 · b⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

La relación existente entre los coeficientes de las distintas potencias de un binomio se conoce con el nombre de triángulo de Tartaglia.

Todas las filas comienzan y acaban con un 1, y los demás coeficientes se obtienen sumando los términos contiguos de la fila anterior.