viernes, 25 de noviembre de 2011

... Los Polinomios ...

Son Polinomios: 
Los números reales an, an-1, a2, a1, a0 se denominan coeficientes del polinomio y , en especial, al coeficiente a0, también se lo llama término independiente.
Aplicaciones

Generalmente se utilizan las funciones reales, en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

Función Afín:
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible.

Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.

Grado de un monomio: grado relativo, grado absoluto

a) En un monomio:
a.1) Grado Relativo:
Veamos unos ejemplos para comprenderlo mejor:
4a3b2
En este caso tenemos dos letras, entonces tendremos dos grados relativos, uno con respecto a la letra a y otro con respecto a la letra b. En ambos casos el grado relativo no será otra cosa que el exponente que afecta a cada letra. La parte numérica no tiene ninguna importancia.
GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)
x5y3z
En este caso debemos recordar que la letra sin exponente llevara un 1: x5y3y1
GR(x) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
GR(y) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(z) = 1 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 1)

a.2) Grado Absoluto: Trabajaremos en los mismos ejemplos del caso anterior para comprender mejor:
4a3b2
El Grado Absoluto de un monomio, no es otra cosa que la suma de los exponentes de todas y cada una de las letras. En este caso sumaremos el exponente de la letra a con el exponente de la letra b:
GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)
x5y3z
Recordamos que el exponente de la letra y es 1: x5y3y1
GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9)


Grado de un polinomio: grado relativo, grado absoluto, grado de las operaciones algebraicas.

b) En un polinomio:
b.1) Grado Relativo: Es igual al exponente mayor de cada una de als variables que se repiten en un polinomio, por ejemplo:7x3z8+ 3z4x ---> GR (x) = 3GR (z) = 8
Veamos un ejemplo para ver mejor como se halla el Grado Relativo:

4a3b2 +5a5b
En este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros ya sabemos que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión algebraica. Entonces tendremos dos grados relativos.
4a3b2 +5a5b1
Antes de seguir trabajando completo los exponentes que "no se ven"
4a3b2 +5a5b1
Estamos viendo que para el caso de la letra a, tenemos el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros tomaremos como Grado Relativo con respecto a la letra a al mayor de estos exponentes (en este caso 5)
GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
4a3b2 +5a5b1
Para la letra b hacemos lo mismo, es decir, comparamos los exponentes que afectan a dicha letra (en este caso los exponentes son 2 y 1) y tomamos el mayor como Grado Relativo (en este caso 2).
GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)
Nótese que los grados relativos no son necesariamente del mismo término, en el caso que hemos visto uno de los grados relativos salió del primer termino y otro del segundo.

b.2) Grado Absoluto: Lo determina el término que tiene el mayor grado dentro de un polinomio, por ejemplo:3x2y3x4+ 9y8xz +5z2x5y ---> GA = 10
Sigamos con el mismo ejemplo:

4a3b2 +5a5b
Este ejemplo es un binomio. Sabemos que tendremos un solo Grado Absoluto.
4a3b2 +5a5b1
Completo los exponentes que "no se ven" con 1.
4a3b2 +5a5b1
Trabajo independientemente cada termino y sumo los exponentes, en el primer termino tengo los exponentes 3 y 2, mismos que sumados dan 5.
4a3b2 +5a5b1
Trabajo ahora con el segundo termino, ahí están los exponentes 5 y 1, mismos que sumados dan 6.
4a3b2 +5a5b1
Me quedare como Grado Absoluto con la suma que de un resultado mayor, en este caso entre el 5 y el 6, me quedare con el 6.
GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)

Expresioes Notables

Ejercicios Resueltos de Polinomios

A continuacion presento unos ejemplos de resolucion de ejercicios de polinomios:


Ejercicio 1




 

Operaciones de Polinomios


Suma de polinomios.

Para sumar polinomios, sumamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal.
Por ejemplo, consideremos los polinomios
P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4
El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2
Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenían la misma parte literal:
2x3 + 8x3 = 10x3
-5x2 + 3x2 = -2x3
6 - 4 = 2

Resta 

Resta de polinomios.
Para restar polinomios, restamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal.
Por ejemplo, consideremos los polinomios
P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4
El polinomio resultante de la resta P(x) - Q(x)= 3x5 - 6 x3 - 8x2 + x + 10
Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece sólo en P(x) se dejan tal cual, a los que aparecen sólo en Q(x) se les cambia el signo y restamos aquellos monomios que tenían la misma parte literal:
2x3 - 8x3 = -6x3
-5x2 - 3x2 = -8x3
6 - (-4) = 10

Factorización de un polinomio

Raíz de un polinomio
Diremos que un número x=a es raíz de un polinomio P(x) si al evaluar P en a se anula, es decir, P(a)=0 .
Un polinomio es divisible por otro si al realizar la división el resto es 0.
Por tanto, si a es raíz de un polinomio P(x), teniendo en cuenta el teorema del resto, podemos afirmar que P(x) es divisible por x-a.
Si a es una raíz de un polinomio entonces a divide al término independiente.
Dado P(x) = cnxn + cn-1xn-1 +...+ c1x + c0 y sea a una raíz de P
P(a) = cnan + cn-1an-1 +...+ c1a + c0 , al sea a una raíz, P(a) = 0
cnan + cn-1an-1 +...+ c1a + c0 = 0 pasamos el término independiente al segundo miembro y sacamos factor común a a, queda a·( cnan-1 + cn-1an-2 +...+ c1 ) = - c0 de aquí se deduce que la raíz es divisor del término independiente.

Esto nos permite buscar las raíces entre los divisores del término independiente
Factorizar un polinomio
Factorizar consiste en descomponer un polinomio como producto de otros más simples. Cuando un polinomio no se puede poner como producto de otros más simples se dice que es irreducible.
Para factorizar un polinomio hallamos su raíces, si a es una raíz de P(x), entonces P(x)=(x-a)·P1(x), así hemos descompuesto P como producto de dos polinomios, reiteramos el proceso, ahora con P1y seguimos hasta que nos encontremos con un polinomio irreducible.
Factoriza el polinomio P(x)=2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6
Usamos la regla de Ruffini, los candidatos a raíz serán los divisores de 6, es decir, 1, -1, 2, -1, 3, -2, 6, -6.

Vamos probando hasta que encontremos un valor cuyo resto es 0, repetimos el proceso con los coeficientes del polinomio cociente hasta que no podamos continuar, porque lleguemos a un polinomio irreducible.
En el ejemplo hemos llegado a un momento en el que no hemos encontrado raíces enteras 2x2 +3, con este polinomio podemos continuar planteando una ecuación de segundo grado, aún así no tiene raíces reales por tanto es irreducible. En la figura de la derecha se observa el proceso.
La factorización queda:
2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 =(x-1)2(x+2)(2x2 +3)

Los Polonimios

Los Polinomios

Monomio: es una expresión algebraica que consta de un solo término, como: 3a, -5b, x2y/2z3, etc. Ejemplo.- 1) 3ax; 2) -2xy2; 3) 8ab3x; 4) 3ax-2y; 5) x2+2x-4. En las tres primeras expresiones no aparecen sumas entre términos mientras que en a 4) y la 5) sí. En los tres primeros casos se trata de monomios mientras que en los otros dos no. Podemos decir por tanto que: Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.

Polinomio: es una expresión algebraica que consta de más de un término, como: a+b, a+x-y, x3+3x2-10x-20, etc. Son combinaciones de sumas y restas en las que la variable poseen sólo exponentes naturales (positivos), o sea que la x no puede estar en raíz o con signo negativo, ni tampoco dividiendo. Se llama grado de un polinomio al mayor exponente con el que aparece la variable. Se denomina coeficiente al número que aparece multiplicando a la variable. El coeficiente principal es el coeficiente del término de mayor grado (sí dicho coeficiente es 1, al polinomio se lo denomina mónico). El término independiente es el número que aparece sin estar multiplicado por x (o bien, multiplicado por x0, o, directamente 1).

Binomio: es un polinomio que consta de dos términos, como: a+b, x-y, x2-y5, a2/b3-1/m, etc.

Trinomio: es un polinomio que consta de tres términos, como: a+b+c, x2-5x+6, 5x2-6y3+10a4/3, etc.

Grado de un Polinomio: puede ser absoluto o con relación a una letra.
a) Grado Absoluto de un Polinomio: es el exponente de su término de mayor grado. Así, el polinomio x2-10x5+10, es de grado 5.

b) Grado de un Polinomio con relación a una letra: es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio a6b3+a2b-ab7, es de sexto grado con relación a la "a" y de séptimo grado con relación a la "b".

Ordenamiento de Polinomios: un polinomio esta ordenado, cuando los exponentes de la variable están ordenados. Cuando los exponentes están ordenados de mayor a menor, decimos que el polinomio esta ordenado en forma decreciente; de menor a mayor, decimos que el polinomio esta ordenado en forma creciente.

Polinomios Completos y Ordenados: Supongamos que tenemos el polinomio Q(x)=1-(1/2)x3+3x4-2x. Este polinomio ordenado es Q(x)=3x4-(1/2)x3-2x+1. Y completo y ordenado sería así: Q(x)=3x4-(1/2)x3+0x2-2x+1.

Término Independiente de un Polinomio: es el término que no esta acompañado de letras, por ejemplo: para el polinomio x3-2x2-10x+100, su término independiente es 100.
Términos Semejantes: dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. Ejemplos: 2a y -3a, -3a2b4 y 12a2b4, etc.

Reducción de Términos Semejantes: es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término, dos o más términos semejantes. En la reducción de términos semejantes puede ocurrir los tres casos siguientes:

1) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo: se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen en común los términos y a continuación se escribe la parte literal.

2) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo: se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

3) Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos: se reducen a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo término todos los negativos, y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior.

Valor Numérico de un Polinomio: es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas. Tomemos P(x)=-2x3+(1/2)x2-3. Entonces P(1)=-2(1)3+(1/2)(1)2-3, lo que implica que P(1)=-9/2. Si en lugar de 1 usamos -2 (como podríamos usar cualquier otro número) sería P(-2)=-2(-2)3+(1/2)(-2)2-3 y esto hace que P(-2)=15.

Ejercicio.- Calcular el valor numérico de la expresión algebraica a2-2ax+4 en los casos:
a) a=2 ; x=3
b) a=-2 ; x=1

Raíces del Polinomio:

Se llaman raíces o ceros de un polinomio a los valores de x que hacen cero dicho polinomio. Si P(a)=0, implica que x=a es una raíz o cero del polinomio. Tomemos R(-1)=x3-3x2-2x+2, entonces R(-1)=(-1)3-3*(-1)2-2(-1)+2. O sea, R(-1)=0, es decir, x=-1 es una raíz o cero del polinomio.

Operaciones Elementales con Polinomios:

1) Suma o Adición: es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). Se puede realizar la adición sólo cuando usamos la misma variable (la misma letra) con el mismo exponente. En las sumas no hay necesidad de ordenar el polinomio. Al sumar, sólo se suman los coeficientes (no las x ni los exponentes). 

2) Resta o Sustracción: es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo. Para restar dos polinomios, se le suma al primero el opuesto del segundo siguiendo la forma: P(x)-Q(x)=P(x)+[-Q(x)]. 

3) Multiplicación: es una operación que tiene como fin, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva. El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto. Recordemos que en la multiplicación de potencias de igual base, se suman los exponentes: x.x2 = x3. Y cuando hacemos potencia de potencia, se multiplican los exponentes: supongamos, ((1/4)x2)2=(1/16)x4

4) División: es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). De esta definición se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo. Regla para dividir dos polinomios: (a) Se ordenan el dividendo y el divisor en forma decreciente y se completa con ceros donde falten términos. (b) 

Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer término del cociente. (c) Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene termino semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda dé acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor. (d) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. (e) Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

Teorema del Residuo (o Teorema del Resto): El residuo de dividir un polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma x - a se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la x por a. Un polinomio ordenado en x suele expresarse abreviadamente por la notación P(x) y el resultado de sustituir en este polinomio la x por a se escribe P(a). En general, el residuo de dividir un polinomio ordenado en x por un binomio de la forma bx - a se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la x por el racional a/b. 

Corolarios del Teorema del Residuo:

1) Divisibilidad por (x-a): un polinomio entero en x que se anula para x = a, o sea sustituyendo en él la x por a, es divisible por (x-a). Es condición necesaria para que un polinomio en x sea divisible por un binomio de la forma (x-a), que el término independiente del polinomio sea múltiplo del término a del binomio, sin tener en cuenta los signos. Así el polinomio 3x4+2x3-6x2+8x+7 no es divisible por el binomio x-3, porque el término independiente del polinomio 7, no es divisible por el término numérico del binomio, que es 3. Esta condición no es suficiente, es decir, que aun cuando el término independiente del polinomio sea divisible por el término a del binomio, no podemos afirmar que el polinomio en x sea divisible por el binomio (x-a). 

2) Divisibilidad de an+bn y an-bn por (a+b) y (a-b):
  1. an-bn es siempre divisible por (a-b), ya sea n par o impar.
  2. an+bn es divisible por (a+b) si n es impar.
  3. an-bn es divisible por (a+b) si n es par.
  4. an+bn no es divisible por (a+b) si n es par.
  5. an+bn nunca es divisible por (a-b), ya sea n par o impar.
Ejercicios para Resolver.-

1. Supóngase los Polinomios: P(x) = 5 - 6x4 + (1/5)x2 - (3/5)x3; Q(x) = - 3x3 - 2x - (1/3)x2; W(x) = x2 + 6x + 9; H(x) = - x + 2; M(x) = x - (1/2).
Realizar las siguientes operaciones:
  1. P(x) - Q(x) +M(x) =
  2. - P(x) - W(x) - H(x) =
  3. P(x)Q(x) =
  4. W(x)( Q(x)P(x) ) =
  5. P(x) / H(x) =
  6. Q(x) / M(x) =
  7. P(x) / W(x) =
  8. H(x) [ P(x) + M(x) ] =
  9. Calcular las raíces del polinomio W(x)
  10. P(-(1/2)) ; W(-3) ; H(2) ; W(-3)H(2) ; Q(0) ; Q(1/2) ; M(3/5)
2. Hallar , sin efectuar la división, el Residuo de dividir:
  1. x2 - 2x + 3 entre x - 1
  2. x3 - 3x2 +2x - 2 entre x + 1
  3. x4 - x3 + 5 entre x - 2
  4. a4 - 5a3 + 2a2 - 6 entre a + 3
  5. m5 + 34 - 2m3 + 4m2 - 2m + 2 entre m + 3
  6. y5 - 2y3 + 2y - 4 entre y - 5
  7. 5x4 - 12x3 + 9x2 - 22x + 21 entre 5x - 2
  8. a6 + a4 - 8a2 + 4a + 1 entre 2a + 3
  9. 15x3 - 11x2 + 10x + 18 entre 3x + 2
3. Factorizar usando la regla de Ruffini:
  1. P(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6
  2. H(x) = x6 - 9x3 + 8
  3. W(x) = x4 - 58x2 + 441
  4. P(x) = x4 - 5x2 + 4

Operaciones con Fracciones Algebraicas

A continuacion se muestran unos ejercicios desarrollados de operaciones algebraicas...

Ejemplos desarrollados

a)
b)
c)
Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).
d)
Fracciones algebraicas compuestas
En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas.
Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador. 
La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen.
Ejemplos:
1)

2)

3)

/// Reduccion y Simplificacion de Fracciones \\\


SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.

Simplificar una fracción algebraica.- es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí .
Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción es irreducible y entonces la fracción ésta reducida a su mas simple expresión o a su mínima expresión.

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS TÉRMINOS SEAN MONOMIOS.

REGLA.
Se divide el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta que sean primos entre si.
=
(1) simplificar 4a2b5/6a3b3m
tendremos 4a2/6a3b3=2.1.b2/3.a.1=2b2/3am
Hemos dividido 4 y 6 entre 2 y obtuvimos 2 y 3; a2 y a3 entre a2 y obtuvimos los cocientes 1 y a ;b5 y b3 entre b3 y obtuvimos los cocientes b2 y 1. como 2b2 y 3am no tienen ningún factor común, esta resulta irreducible
(2) simplificar 9x3y3/36x5y6
9x3y3/36x5y6= 1.1.1/4.x2.y3 = 1/4x2y8.

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS TÉRMINOS SEAN POLINOMIOS.

Regla
Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprimen los factores comunes al numerador y denominador.
(1) simplificar 2ª2 .
4ª2 -4ab
2ª2 . = 2a2 = a .
4ª2 -4ab 4ª(a-b) 2(a-b)
Hemos dividido 2 y 4 entre 2 y a2 y a entre a.
(2) simplificar 4x2y3 .
24x3 y3 - 36x3y4
4x2y3 . = 4x2 y3 = 1 .
24x3 y3 - 36x3y4 12x3y3(2-3y) 3x(2-3y)