Los Polonimios

Los Polinomios

Monomio: es una expresión algebraica que consta de un solo término, como: 3a, -5b, x²y/2z³, etc. Ejemplo.- 1) 3ax; 2) -2xy²; 3) 8ab³x; 4) 3ax-2y; 5) x²+2x-4. En las tres primeras expresiones no aparecen sumas entre términos mientras que en a 4) y la 5) sí. En los tres primeros casos se trata de monomios mientras que en los otros dos no. Podemos decir por tanto que: Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.

Polinomio: es una expresión algebraica que consta de más de un término, como: a+b, a+x-y, x³+3x²-10x-20, etc. Son combinaciones de sumas y restas en las que la variable poseen sólo exponentes naturales (positivos), o sea que la x no puede estar en raíz o con signo negativo, ni tampoco dividiendo. Se llama grado de un polinomio al mayor exponente con el que aparece la variable. Se denomina coeficiente al número que aparece multiplicando a la variable. El coeficiente principal es el coeficiente del término de mayor grado (sí dicho coeficiente es 1, al polinomio se lo denomina mónico). El término independiente es el número que aparece sin estar multiplicado por x (o bien, multiplicado por x⁰, o, directamente 1).

Binomio: es un polinomio que consta de dos términos, como: a+b, x-y, x²-y⁵, a²/b³-1/m, etc.

Trinomio: es un polinomio que consta de tres términos, como: a+b+c, x²-5x+6, 5x²-6y³+10a⁴/3, etc.

Grado de un Polinomio: puede ser absoluto o con relación a una letra.

a) Grado Absoluto de un Polinomio: es el exponente de su término de mayor grado. Así, el polinomio x²-10x⁵+10, es de grado 5.

b) Grado de un Polinomio con relación a una letra: es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio a⁶b³+a²b-ab⁷, es de sexto grado con relación a la "a" y de séptimo grado con relación a la "b".

Ordenamiento de Polinomios: un polinomio esta ordenado, cuando los exponentes de la variable están ordenados. Cuando los exponentes están ordenados de mayor a menor, decimos que el polinomio esta ordenado en forma decreciente; de menor a mayor, decimos que el polinomio esta ordenado en forma creciente.

Polinomios Completos y Ordenados: Supongamos que tenemos el polinomio Q(x)=1-(1/2)x³+3x⁴-2x. Este polinomio ordenado es Q(x)=3x⁴-(1/2)x³-2x+1. Y completo y ordenado sería así: Q(x)=3x⁴-(1/2)x³+0x²-2x+1.

Término Independiente de un Polinomio: es el término que no esta acompañado de letras, por ejemplo: para el polinomio x³-2x²-10x+100, su término independiente es 100.

Términos Semejantes: dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. Ejemplos: 2a y -3a, -3a²b⁴ y 12a²b⁴, etc.

Reducción de Términos Semejantes: es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término, dos o más términos semejantes. En la reducción de términos semejantes puede ocurrir los tres casos siguientes:

1) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo: se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen en común los términos y a continuación se escribe la parte literal.

2) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo: se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

3) Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos: se reducen a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo término todos los negativos, y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior.

Valor Numérico de un Polinomio: es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas. Tomemos P(x)=-2x³+(1/2)x²-3. Entonces P(1)=-2(1)³+(1/2)(1)²-3, lo que implica que P(1)=-9/2. Si en lugar de 1 usamos -2 (como podríamos usar cualquier otro número) sería P(-2)=-2(-2)³+(1/2)(-2)²-3 y esto hace que P(-2)=15.

Ejercicio.- Calcular el valor numérico de la expresión algebraica a²-2ax+4 en los casos:

a) a=2 ; x=3

b) a=-2 ; x=1

Raíces del Polinomio:

Se llaman raíces o ceros de un polinomio a los valores de x que hacen cero dicho polinomio. Si P(a)=0, implica que x=a es una raíz o cero del polinomio. Tomemos R(-1)=x³-3x²-2x+2, entonces R(-1)=(-1)³-3*(-1)²-2(-1)+2. O sea, R(-1)=0, es decir, x=-1 es una raíz o cero del polinomio.

Operaciones Elementales con Polinomios:

1) Suma o Adición: es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). Se puede realizar la adición sólo cuando usamos la misma variable (la misma letra) con el mismo exponente. En las sumas no hay necesidad de ordenar el polinomio. Al sumar, sólo se suman los coeficientes (no las x ni los exponentes). 

2) Resta o Sustracción: es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo. Para restar dos polinomios, se le suma al primero el opuesto del segundo siguiendo la forma: P(x)-Q(x)=P(x)+[-Q(x)]. 

3) Multiplicación: es una operación que tiene como fin, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva. El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto. Recordemos que en la multiplicación de potencias de igual base, se suman los exponentes: x.x2 = x3. Y cuando hacemos potencia de potencia, se multiplican los exponentes: supongamos, ((1/4)x2)2=(1/16)x4

4) División: es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). De esta definición se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo. Regla para dividir dos polinomios: (a) Se ordenan el dividendo y el divisor en forma decreciente y se completa con ceros donde falten términos. (b) 

Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer término del cociente. (c) Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene termino semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda dé acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor. (d) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. (e) Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

Teorema del Residuo (o Teorema del Resto): El residuo de dividir un polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma x - a se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la x por a. Un polinomio ordenado en x suele expresarse abreviadamente por la notación P(x) y el resultado de sustituir en este polinomio la x por a se escribe P(a). En general, el residuo de dividir un polinomio ordenado en x por un binomio de la forma bx - a se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la x por el racional a/b. 

Corolarios del Teorema del Residuo:

1) Divisibilidad por (x-a): un polinomio entero en x que se anula para x = a, o sea sustituyendo en él la x por a, es divisible por (x-a). Es condición necesaria para que un polinomio en x sea divisible por un binomio de la forma (x-a), que el término independiente del polinomio sea múltiplo del término a del binomio, sin tener en cuenta los signos. Así el polinomio 3x⁴+2x³-6x²+8x+7 no es divisible por el binomio x-3, porque el término independiente del polinomio 7, no es divisible por el término numérico del binomio, que es 3. Esta condición no es suficiente, es decir, que aun cuando el término independiente del polinomio sea divisible por el término a del binomio, no podemos afirmar que el polinomio en x sea divisible por el binomio (x-a). 

2) Divisibilidad de aⁿ+bⁿ y aⁿ-bⁿ por (a+b) y (a-b):

1. aⁿ-bⁿ es siempre divisible por (a-b), ya sea n par o impar.
2. aⁿ+bⁿ es divisible por (a+b) si n es impar.
3. aⁿ-bⁿ es divisible por (a+b) si n es par.
4. aⁿ+bⁿ no es divisible por (a+b) si n es par.
5. aⁿ+bⁿ nunca es divisible por (a-b), ya sea n par o impar.

Ejercicios para Resolver.-

1. Supóngase los Polinomios: P(x) = 5 - 6x⁴ + (1/5)x² - (3/5)x³; Q(x) = - 3x³ - 2x - (1/3)x²; W(x) = x² + 6x + 9; H(x) = - x + 2; M(x) = x - (1/2).

Realizar las siguientes operaciones:

1. P(x) - Q(x) +M(x) =
2. - P(x) - W(x) - H(x) =
3. P(x)Q(x) =
4. W(x)( Q(x)P(x) ) =
5. P(x) / H(x) =
6. Q(x) / M(x) =
7. P(x) / W(x) =
8. H(x) [ P(x) + M(x) ] =
9. Calcular las raíces del polinomio W(x)
10. P(-(1/2)) ; W(-3) ; H(2) ; W(-3)H(2) ; Q(0) ; Q(1/2) ; M(3/5)

2. Hallar , sin efectuar la división, el Residuo de dividir:

1. x² - 2x + 3 entre x - 1
2. x³ - 3x² +2x - 2 entre x + 1
3. x⁴ - x³ + 5 entre x - 2
4. a⁴ - 5a³ + 2a² - 6 entre a + 3
5. m⁵ + 3⁴ - 2m³ + 4m² - 2m + 2 entre m + 3
6. y⁵ - 2y³ + 2y - 4 entre y - 5
7. 5x⁴ - 12x³ + 9x² - 22x + 21 entre 5x - 2
8. a⁶ + a⁴ - 8a² + 4a + 1 entre 2a + 3
9. 15x³ - 11x² + 10x + 18 entre 3x + 2

3. Factorizar usando la regla de Ruffini:

1. P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
2. H(x) = x⁶ - 9x³ + 8
3. W(x) = x⁴ - 58x² + 441
4. P(x) = x⁴ - 5x² + 4